ハノイの塔 Tower of Hanoi

ハノイの塔と呼ばれるパズルがあります。3本の棒があり、その1本にN枚の円盤がはめてあります。円盤は上から下へと順次大きくなっています。問題はこのN枚の円盤をそっくり別の棒に移動することです。ただし、円盤を移動する際、次の制限があります。
　　・一度に一枚の円盤を現在の棒から別の棒へ移す。
　　・小さい円盤の上に大きな円盤を載せてはいけない。
円盤の移動法を指示するプログラムを作りなさい。
この問題も、私が大学生時代(1984年)の授業の課題で出されたものの一つです。再帰呼び出しに関する授業の直後に出されたので、比較的簡単にクリアできたと記憶しています。

※このページは、「再帰の技法」 基本的考え方・アルゴリズム・プログラミング(2006年11月10日　玉井　浩、エスアイビー・アクセス）を参考にしています。

考え方

問題をはっきりさせるために、3本の棒にA, B, Cと名前を付けます。また円盤には円盤1から円盤Nと番号を付けます。そして最初AにはめてあるN枚の円盤を、Bを補助に使って、最終的にCに移すものとします。
「①AにはめてあるN枚の円盤をBを補助に使ってCに移す」という命題です。
もちろん、途中でむだな移動はしないものとします。
まず、一番下にある一番大きな円盤に注目しましょう。全体をCに移動するためには、この一番大きな円盤をCに移動しなければなりません。一度に一枚の円盤しか動かせないので、この円盤をCに動かすためにはその上にあるN-1枚の円盤をそっくりBに移動しておく必要があります。
「②AにはめてあるN-1枚の円盤をCを補助に使ってBに移す」という移動先の棒が違うだけの規模の小さな命題が登場しました。これすなわち再帰です。
続いて①を実現するためには、②の後、「③Aにはめてある一番大きな円盤をCに移し」、「④BにはめてあるN-1枚の円盤をAを補助に使ってCに移して」終了になります。
④は移動元の棒が違うだけの同様な命題です。もちろん再帰です。
つまり、ハノイの塔のプログラムは、再帰部分が２つ（②と④）含む構造であることがわかります。

手続きhanoi(n, x, y, z)

棒xにはめてあるn枚の円盤を棒yを補助に使って棒zへ移動する手続きをhanoi(n, x, y, z)と定義します。
すると、①②④は次のようにあらわすことができます。
　　①hanoi(N, A, B, C)
　　  ②hanoi(N-1, A, C, B)
　　  ③円盤NをAからCに移動する
　　  ④hanoi(N-1, B, A, C)
なお、N=1のときは③を行って終了です。
手続きhanoi(n, x, y, z)のプログラムは次のようになります。

ポイントは、引数に補助になる棒も加えることによって、①②④における移動元、補助、移動先の関係が不変であるということです。

解答プログラム

ついでですので、何手で移動が完了するかカウントするにはどうしましょうか？
手数は、printfが実行される回数と同じですので、カウンタをprintfのところで1つずつ増やしていけばよさそうです。
さらに、main関数のところでNをいくつにするか決めると、最終的なプログラムは下記のようになります。

実行結果（N=3のとき）は以下の通りです。

円盤の数Nと手順数の関係

円盤の数Nと手順数の関係はどうなっているでしょうか？

インドのベナレスの寺院に3本のダイヤモンドの杭があり、その1本に64枚の金の円盤がはめてあって、それを僧侶が別の杭にせっせと移している。移し終わる前に寺院は塵芥（じんかい）と化し、雷鳴と共に世界は破滅するであろう。