このページは「2週間で完成　整数問題(安田亨、2013年5月1日、東京書籍)」、「大学への数学　マスター・オブ・整数(栗田哲也、福田邦彦、2010年10月15日、東京出版)」、「大学への数学　1対1対応の演習　数学Ⅰ(2003年4月15日、東京出版)」を参考にしています。

要点の整理

１．素数・合成数

1.1 定義

自然数（正の整数）のうち、「１とその数以外に約数を持たない数」を素数という。 １は素数に含めない。したがって、素数が持つ約数は、１と自分自身の計２個である。
１でも素数でもない自然数を合成数という。合成数は２個以上の素数の積として表される。

1.2 素数・合成数の判別法

自然数 n が 素数か合成数かを調べるには、1から√nまでの範囲にある素数の中に、nを割り切るものがあるかどうかを調べてばよい。（エラトステネスのふるい）

1.3 素数は無限にある

この証明は、「素数が無数に存在することの証明」参照。

1.4 素因数分解の一意性

この証明は、「素因数分解の一意性」参照。

２．約数・倍数

2.1 約数の個数と総和

2以上の正の整数Nを素数p₁, p₂, p₃, …p_mと正の整数k₁, k₂, k₃, …k_mを用いて、N=p₁^k₁p₂^k₂p₃^k₃…の形に表すとき、
Nの正の約数の個数は、(k₁+1)(k₂+1)(k₃+1)…である。
また、Nの約数の総和は、(1+P₁¹+P₁²+…+p₁^k₁)(1+P₁¹+P₁²+…+p₂^k₂)…(1+P_m¹+P_m²+…p_m^k_m)である。
＜例＞
N=72(=2³×3²)の約数の個数と総和は以下の通り。
約数の個数：(3+1)(2+1)=12
約数の総和：(1+2¹+2²+2³)(1+3¹+3²)=15×13=195

＜例＞
N=180(=2²×3²×5)の約数の個数と総和は以下の通り。
約数の個数：(2+1)(2+1)(1+1)=9
約数の総和：(1+2¹+2²)(1+3¹+3²)(1+5¹)=7×13×6=546

2.2 最大公約数・最小公倍数約数

整数m, nに共通の約数（公約数）のうちで最大のものを、m, nの最大公約数という。
また、 整数m, nに共通の倍数（公倍数）のうちで最小のものを、m, nの最小公倍数という。

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開始：2013年7月11日
更新：2014年6月4日
最終更新：2014年6月30日