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モジュラ算術 Modular arithmetic

■除法の一意性
整数aと自然数bの組を決めると、
    a=qb+r, 0≦r<b
を満たす整数q, rがただ一通り定まります。
このq, rをそれぞれaをbで割った商、余り（剰余）といいます。
rの範囲を0≦r<bに決めているからただ一通り定まるのです。
この範囲を外すと、
　　53÷3=17余り2のところが
      53÷3=16余り5とか
      53÷3=18余り -1とか
勝手になんでも出てきてしまいます。

■「余りが同じ」すなわち「差が割り切れる」
aをmで割った余りをr
bをmで割った余りもrとします。
このとき、a-bはmで割り切れます。
証明
　a=km+r  (kは整数)
   b=lm+r  (lは整数)
より、
　a-b=(km+r)-(lm+r)
        =(k-l)m         ※k-lは整数
故にa-bはmで割り切れる。　　（証明終わり）

a-bがmで割り切れる = a, bをmで割った余りが同じ

■余りの感覚
xをmで割った余りをx'で表すことにすると、
1. (a+b)'は、 a'+b'をmで割った余りに等しい
　　　(a+b)' = (a'+b')'
2. (ab)'は、a'b'をmで割った余りに等しい
　　　(ab)' = (a'b')'
証明
　a=km+r1  (kは整数、r1は自然数)
   b=lm+r2   (lは整数、r2は自然数)
とすると、a'=r1, b'=r2。
1.
  左辺：(a+b)' = (km+r1+lm+r2)'
                      = [(k+l)m+r1+r2]'
                      = (r1+r2)'
                      = (a'+b')'    （証明終わり）
2.
  左辺：(ab)' = [(km+r1)(lm+r2)]'
                    = (klm²+kr2m+r1lm+r1r2)'
                    = [(klm+kr2+r1l)m+r1r2]'
                    = (r1r2)'
                    = (a'b')'         （証明終わり）
※以上は大学への数学　1対1対応の演習　数学Ⅰ（東京出版）を参考にしています。

合同式の概念と合同式

合同式（モジュラ算術）

2つの整数a, bは、a-bがmの倍数となるとき、mを法として合同であるといい、a≡b (mod m)と表す。

a-bがmで割り切れる = a, bをmで割った余りが同じ

                            　　          ↓

a, bは、mを法として合同である

　　　　　　　　　　　  　　 ↓

a ≡ b (mod m)

この式を合同式と呼びます。(mod m)は「mを法として」あるいは「モードmで」と読みます。
要するに、a≡b (mod m)は、「xをmで割ったときの余りをx'で表すやりかた」でいうと、
　　a'=b'
ということです。

aの代表する類

aと合同な整数全体を「aの代表する類」といい、a (mod m)のようなの記号で表します。
これは、mで割った余りが、aをmで割った余りと等しい整数の集合です。
また、a (mod m)={a+km|k∈Z}です。←Zは整数の集合を表す記号
　　→（a+kmをmで割った余りと、aをmで割った余りは同じです）
もちろん、a≡b (mod m)ならば、a (mod m) = b (mod m)で、aの代表する類とbの代表する類は等しくなります。

mを法とする類の代表系

mで整数を割った余りは、0, 1, 2,…,m-2, m-1のm個で、どれもmを法として合同でないので、結局、mを法としてのすべての類は
　　0 (mod m), 1 (mod m), 2 (mod m), …, (m-2) (mod m), (m-1) (mod m)
のm個の類で尽くされます。
一般に、a₁, a₂, a₃, …, a_m-2, a_m-1の代表する類がすべてを尽くすとき、この系をmを法とする類の代表系といいます。
0, 1, 2,…,m-2, m-1は類の代表系の一つです。
これらm個の類の集合を、Z/mという記号で表します。

合同式の定理

　　a≡b (mod m),  c≡d (mod m)
は、a-b=km, c-d=lmとなる整数k, lが存在するということですから、これから、
　　(a±c)-(b±d)=(a-b)±(c-d)=(k±l)m
　　ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)=(al+dk)m
となります。したがって、定義から、

<定理>	a≡b (mod m),  c≡d (mod m)ならば、 　　a±c≡b±d (mod m)----------------------------(1) 　　ac≡bd (mod m)--------------------------------(2)

この定理の意味は、2数a, cの加減乗演算を、それぞれに対して合同な数b, dで置き換えて計算しても、結果はmを法として一定の類に入るということです。
つまり、類の代表をどのように選んでも、加減乗の結果として決まる類は一意的に決まるというわけです。
したがって、mを法とするm個の類の集合Z/mに、加減乗の2項演算を次のように定義することができます。

合同式の定義

＜定義＞	a (mod m)±b (mod m)=(a±b) (mod m) a (mod m)×b (mod m)=(a×b) (mod m) aの代表する類とbの代表する類の間で加減乗を行った結果は、2数a, bの加減乗の結果の代表する類と等しい。

【例】m=7としたとき、3¹⁰⁰を7で割った余りrはいくつか？
3¹⁰⁰の計算はとてもできませんので、合同式の定義を利用して考えることになります。
すなわち、3¹⁰⁰を小さな数字を乗じたものと考えます。
　　100=10×10ですから、3¹⁰⁰=(3¹⁰)¹⁰としてみます。
　　3¹⁰=59049ですから、これを7で割った余りは4です。
合同式を使うと、310 (mod 7)=4 (mod 7)-------------------------------------------(3)
　　3¹⁰⁰ (mod 7)=3¹⁰ (mod 7)×3¹⁰ (mod 7)×…×3¹⁰ (mod 7)
(3)を代入して、
　　3¹⁰⁰ (mod 7)=4 (mod 7)×4 (mod 7)×…×4 (mod 7)
4¹⁰=1048576ですから、これを7で割った余りは4です。
合同式を使うと、4¹⁰ (mod 7)=4 (mod 7)-------------------------------------------(4)
(3)を代入して、
　　3¹⁰⁰ (mod 7)=4 (mod 7)
　　∴3¹⁰⁰≡4 (mod 7)
よって、余りr=4

※別解
3² (mod 7)=2 (mod 7)
3³ (mod 7)=3² (mod 7)×3 (mod 7)=2 (mod 7)×3 (mod 7)=6 (mod 7)
3⁴ (mod 7)=3³ (mod 7)×3 (mod 7)=6 (mod 7)×3 (mod 7)=18 (mod 7)=4 (mod 7)
3⁵ (mod 7)=3⁴ (mod 7)×3 (mod 7)=4 (mod 7)×3 (mod 7)=12 (mod 7)=5 (mod 7)
3⁶ (mod 7)=3⁵ (mod 7)×3 (mod 7)=5 (mod 7)×3 (mod 7)=15 (mod 7)=1 (mod 7)
以上から、
3¹⁰⁰ (mod 7)={(3⁶)¹⁶×3⁴ } (mod 7)=1 (mod 7)×4 (mod 7)=4 (mod 7)
∴3¹⁰⁰≡4 (mod 7)
よって、余りr=4

RSAの数学解説

RSA暗号のところで出てきたモジュラ算術は、上の【例】同様に計算できます。
なんで
11²³(mod 187)=[11(mod 187)×11²(mod 187)×11⁴(mod 187)×11⁸(mod 187)×11⁸(mod 187)](mod 187)
といえるのでしょうか。

xをkで割ったときの余りをx'で表すやりかたで書きかえると、
  (11²³)'={(11)'(11²)'(11⁴)'(11⁸)'(11⁸)'}'
ということです。
つまり、すでに証明した前項の (ab)'=(a'b')' の文字が増えて(abcd…)'=(a'b'c'd'…)'になっただけです。
　(11²³)'={(11)'(11²)'(11⁴)'(11⁸)'(11⁸)'}'
              =(11'×121'×14,641'×214,358,881'×214,358,881')'
              =(11×121×55×33×33)'
              =(79,720,245)'
              =88

ためしに 11²³ = (11⁶)³×11⁵と考えても結果は同じです。、
   (11²³)' = {(11⁶)'(11⁶)'(11⁶)'(11⁵)'}'
               =(1,771,561'×1,771,561'×1,771,561'×161,051')'
               =(110³×44)'
               =(58,564,000)'
               =88
となります。

1次の合同方程式

整数a, bに対して
　　ax≡b (mod m)-----------(1)
のような方程式を、1次の合同方程式といいます。
　※「aを何倍すればmで割ってb余るか」という意味です。
(1)を書き換えると、
　　ax-b=my
となる整数x, yを見つけることと同じです。これはまた、
　　ax-my=b------------------(2)
の整数解を求めることですから、ユークリッドの互除法を使えます。
ユークリッドの互除法では、a, mの最大公約数をdとしていましたが、ここでは、bがdの倍数とします。
よって、a=a'd, m=m'd, b=b'dですから、(2)をdで割って、
　　a'x-m'y=b'

■中国の余剰定理